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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 3 - Límites y continuidad

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2. Calcular los siguientes límites. En cada caso, analizar si la función correspondiente posee asíntotas horizontales.
e) lim⁡x→+∞∣x−2∣+x5x+1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{|x-2|+x}{5 x+1}

Respuesta

Lo primerísimo que hacemos acá es deshacernos de ese módulo. Cuando xx tiende a +∞+\infty lo de adentro del módulo es recontra positivo, así que ∣x−2∣=x−2|x-2| = x-2. Reemplazamos:

lim⁡x→+∞x−2+x5x+1= lim⁡x→+∞2x−25x+1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-2+x}{5 x+1} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2x-2}{5 x+1}

Vos acá ya estás viendo esto, indeterminación "infinito sobre infinito", polinomios de igual grado... ya aprendimos en las clases que esto a ojo vos lo ves y sabés que tiende a 25\frac{2}{5}. Vamos a justificarlo sacando factor común "el que manda" en numerador y denominador:

lim⁡x→+∞2x−25x+1=lim⁡x→+∞x(2−2x)x(5+1x) =lim⁡x→+∞2−2x5+1x= 25 \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2x-2}{5 x+1} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x(2 - \frac{2}{x})}{x(5 + \frac{1}{x})} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 - \frac{2}{x}}{5 + \frac{1}{x}} = \frac{2}{5}

Por lo tanto, ff tiene una asíntota horizontal en y= 25y = \frac{2}{5} en +∞+\infty
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